Математики тоже люди

Архивные материалы

21.06.2012 16:59

AndreyBM [coralsteel]

55

Диалог с уважаемым математиком falcao о диагональном методе Кантора\Геделя Офф
coralsteel
2006-10-29 02:51 pm UTC (link) Track this
Хочется узнать Ваше мнение о теореме Кантора о неперечислимости действительных чисел. Считаете ли Вы что теорема Геделя основана на этой теореме Кантора?
Я чего спрашиваю. Пуанкаре считал доказательство Кантора неправильным. Изменилось ли что с тех пор?

(Reply to this)(Thread)
"диагональный приём"
falcao
2006-10-29 08:01 pm UTC (link) Track this
У меня получился довольно длинный ответ. Надеюсь, он Вас устроит.

Рассуждение Кантора использует так называемый "диагональный приём". Это совершенно "конструктивный" и наглядный трюк. На всякий случай повторю, в чём его суть.

Представим себе клетчатый лист, бесконечный вправо и вниз. В каждую клеточку этого листа запишем какую-нибудь цифру. Пусть получилась, к примеру, такая картина:

1800909...
8502764...
2088476...
5550189...
6090011...
4949276...
2201087...
..........

Можно считать, что нам таким образом задан (бесконечный) список бесконечных последовательностей. Поставим себе такую задачу: указать какую-нибудь последовательность, которой нет в нашем списке. Для этого сначала прочитаем ту последовательность, которая написана на "диагонали" (откуда и происходит название используемого приёма). Для нашего примера мы получим следующее:

1580077...

Теперь достаточно взять ЛЮБУЮ последовательность, отличающуюся от написанной в КАЖДОЙ позиции. Можно, например, использовать такое правило: если мы видим 0 в некоторой позиции, то пишем 1, а во всех остальных случаях пишем 0. По такому правилу у нас получится вот что:

0001100...

Такой последовательности заведомо не было в нашем списке. Она отличается и от первой последовательности списка (как минимум в первой позиции), и от второй (во второй позиции), и от всех остальных. Цель достигнута.

Законность применения такого приёма вряд ли можно подвергнуть сомнению. Это не выходит за рамки классических представлений о математике.

В наиболее распространённых доказательствах теоремы Гёделя используется именно такой приём (а иногда не используется вообще). На теорему Кантора ни одно из этих доказательств не опирается. Сходство здесь только в том, что и Кантор, и Гёдель используют описанный выше совершенно классический по духу приём.

Теперь что касается собственно теоремы Кантора о несчётности множества действительных чисел. (Принято говорить о счётных множествах; термин "перечислимое множество" зарезервирован для других целей в теории алгоритмов.) В каком смысле можно подвергнуть "сомнению" эту теорему? Или, лучше сказать, можно ли рассуждение Кантора как-то иначе интерпретировать?

Известно, что концепцию "множества" рассматривал в своё время ещё Больцано. В его версии все бесконечные множества были счётными. Такая точка зрения сильно отличается от общепринятой, но она вполне допустима. Как же быть тогда с доказательством Кантора, которое говорит нам о несчётности континуума? Казалось бы, здесь возникает противоречие. На самом же деле вывод состоит в том, что континуум при таком подходе просто не будет являться множеством, только и всего. Его можно считать объектом другого рода и назвать, например, классом. В такой точке зрения нет ничего противоестественного. То есть множествами мы считаем "понятные", "обозримые" совокупности элементов, а "необозримые", "слишком большие" называем другим именем. При этом устраняется парадокс, связанный с рассмотрением "множества всех множеств" -- здесь возникает "класс всех множеств".

Разница между множествами и классами такая: мы требуем, чтобы множества и классы состояли только из "понятных" элементов, то есть множеств. По той причине, что рассмотрение какой бы то ни было совокупности предполагает, что её элементы нам хорошо известны, мы умеем их различать, сравнивать и так далее. А про классы мы такого сказать не можем. Поэтому мы просто запрещаем им входить в какие-либо совокупности.

Различение множеств и классов лежит в основе одной из аксиоматик теории множеств (система аксиом Гёделя -- Бернайса).

Теперь что касается критики Пуанкаре. Когда в теории множеств Кантора обнаружились известные парадоксы, Пуанкаре поставил вопрос о её недостаточной обоснованности. Он говорил о том, что "существовать" в его понимании означает "быть свободным от противоречий", поэтому считал, что рассуждения об "очень больших совокупностях" станут правомерными лишь после того, как будет обоснована непротиворечивость новой теории.

Современное состояние дел таково, что непротиворечивость аксиоматической теории множеств просто принимается на веру. Противоречий и парадоксов удалось избежать, и большинство математиков придерживается той точки зрения, что "фундамент" достаточно надёжен.

(Reply to this)(Parent) (Thread)
Re: "диагональный приём"
coralsteel
2006-10-31 05:43 am UTC
Этот прием Пуанкаре и подвергал сомнению. И он явно НЕ классический.
Чтобы написать данную "отличную" последовательность нужен бесконечный процесс.
Например, для последовательностей длины 3 имеем:
000
001
010
011
111
Теперь пишем "отличную" последовательность:
111 - опа на третьем шаге получили четвертое число...
Чтобы продолжить четвертый шаг надо выйти из разрядности...
1111
То есть на каждом шаге получаем число которое есть в нашем бесконечном списке - оно просто где-то внизу из-за того что мы лихо скачем по разрядам...
И это Вы называете "классическим представлением" в математике? Ну-ну...

(Reply to this)(Parent) (Thread)
Re: "диагональный приём"
falcao
2006-10-31 06:20 am UTC (link) Track this
Что такое классическая математика? Анализ сюда входит? Думаю, всякий с этим согласится. Даже если не брать анализ -- можно взять теорию чисел. Уж это-то, следуя высказыванию Гаусса, классика из классиков, "царица математики". Даже "консерватор" Кронекер, на которого часто кивают, говорил, что "натуральные числа создал господь Бог". То есть понятие бесконечного в классической математике использовалось "на полную катушку". Можно, как я уже говорил, подвергать сомнению возможность и необходимость привлечения "больших мощностей". Но против счётных множеств если кто и возражал, то только сторонники "ультраинтуиционизма". Я, кстати, отнюдь не против этого течения, оно мне даже представляется весьма перспективным. Но пока оно является маргинальным.

Если устранить бесконечность из математики, то мы получим теорию конечных множеств, то есть комбинаторику. Это хороший и очень уважаемый раздел математики, но она им явно не исчерпывается. А уж Пуанкаре в своих работах использовал анализ на полную мощность, так что о чём тут можно говорить?

Аргумент о том, что надо "выйти из разрядности" мне непонятен, так как никто не задавал границу. Последовательности по условию бесконечны (в противном случае даже само условие задачи не имеет смысла). Ясно, что если допускаются бесконечные последовательности, то допускаются и бесконечные процессы.

(Reply to this)(Parent) (Thread)
Re: "диагональный приём"
coralsteel
2006-10-31 02:04 pm UTC (link) DeleteTrack this
Пуанкаре говорил, что основа, на которой мы говорим о бесконечности - матиндукция. ДРУГОГО метода пока еще не придумали. Или Вы знаете другой метод?
Я могу сконструировать список действительных чисел меньше единицы так, что на каждом шаге "отличная" последовательность будет СЛЕДУЮЩЕЙ в списке... Можно также вычислить НОМЕР равной этой последовательности в списке действительных чисел перечисленных комбинаторно 0,1, 00,01,10,11, 000,001...
Мое утверждение - диагональный прием противоречит матиндукции.
И является неклассическим.

(Reply to this)(Parent) (Thread)
Re: "диагональный приём"
falcao
2006-10-31 02:38 pm UTC (link) Track this
Если Вы будете брать КОНЕЧНЫЕ последовательности, то их, разумеется, перенумеровать можно. (Все они задают рациональные числа.)

Вы просто представьте себе бесконечный вправо и вниз клетчатый лист бумаги. Пусть он как-то заполнен нулями и единицами. Только он должен быть заполнен ВЕСЬ ЦЕЛИКОМ. Пройдитесь по диагонали и возьмите "отрицание" написанного. Это будет последовательность, отсутствующая в списке. Какое тут противоречие с индукцией?

(Reply to this)(Parent) (Thread)
Re: "диагональный приём"
coralsteel
2006-10-31 03:56 pm UTC (link) DeleteTrack this
Хехе. Это Вы серьезно?
Чтобы что-то доказать пользуясь матиндукцией для бесконечного множества нужно доказать справедливость теоремы для начального утверждения типа сумма натуральных квадратов = n(n+1)(2n+1)/6 для 1 - 1^2=1(2)(3)/6=1
а потом для КАЖДОГО шага, если n => n+1
Можно ли такое сделать для диагонального приема? Если нет, то логично предположить что он лежит вне классической математики. ЭкзотИк.

(Reply to this)(Parent) (Thread)
Re: "диагональный приём"
falcao
2006-10-31 11:14 pm UTC (link) Track this
Для диагонального приёма это сделать можно и по индукции, и без индукции. Хотите, чтобы обязательно было по индукции? Нет проблем.

Таблица заполнена нулями и единицами. Берём диагональ и формируем её "отрицание". Полученную последовательность назовём диагональной.

Утверждение. Для любого натурального n диагональная последовательность (ДП) не совпадает с n-й последовательностью списка.

База: n=1. Верно, так как последовательности различаются первым членом по построению.

Шаг: от n к n+1. Предположим, что ДП не совпадает с n-й последовательностью списка. Докажем, что она не совпадает с (n+1)-й. Посмотрим на (n+1)-е члены. Они различны по построению. Следовательно, ДП не совпадает с (n+1)-й последовательностью. QED

То, что предположение индукции при этом даже не использовалось -- наше неотъемлемое право.

Если Вы всё ещё надеетесь "опровергнуть" диагональный приём, то Вам следует заполнить ВСЮ таблицу нулями и единицами любым способом, который Вам понравится. Далее взять диагональ и её "отрицание". Если Вам после этого удастся указать конкретный номер получившейся последовательности в списке -- я был бы рад такой пример увидеть. Но я думаю, Вы сами понимаете, что это невозможно.

(Reply to this)(Parent) (Thread)
Re: "диагональный приём"
coralsteel
2006-11-01 03:20 pm UTC (link) DeleteTrack this
Пуанкаре говорил так (по памяти ибо интернет забит Перельманом)
имеем некий алгоритм генерации всех действительных чисел\последовательностей.
Диагональный прием дополняет наш алгоритм неким новым алгоритмом.
Легко видеть, что если я скажу "заранее добавим в наш список диагональное число", то Вы придумаете модификацию ДП - новый алгоритм, который "на лету" изменит первоначальный алгоритм классификации\генерации списка.
Добавлять алгоритмы можно до бесконечности.
Против этого и возражал Пуанкаре.
Теперь конкретно по индукции.
Есть утверждение Кантора\индукции. О том, что есть некое новое число\последовательность. Предъявить его на шаге n нельзя. Тем более на шаге n+1. Ибо я могу ВЫЧИСЛИТЬ номер этой ДП последовательности ниже в списке.

(Reply to this)(Parent) (Thread)
Re: "диагональный приём"
falcao
2006-11-01 06:00 pm UTC (link) Track this
Для обсуждения мысли Пуанкаре мне всё-таки нужна точная цитата. Вы пересказываете своими словами, и уже в самом начале я вижу противоречие. Не может быть никакого перечисления ВСЕХ последовательностей. Если имеется в виду просто перечисление каких-то последовательностей, то можно сгенерировать диагональным методом новую, которой не было. Её можно добавить в список (например, в начало), но тогда изменится диагональ. Соответственно, появится новая ДП, и так до бесконечности. Никакого противоречия или несоответствия я здесь не вижу.

Насколько я понимаю последний Ваш абзац, Вы по-прежнему имеете в виду список всех конечных последовательностей: 0, 1, 00, 01, 10, 11 и так далее. По условию задачи, мы должны иметь дело со списком бесконечных последовательностей. Так ли я понимаю, что Ваши конечные последовательности предполагается продолжить вправо как угодно (например, нулями)? Если да, то ДП легко предъявить. Мне кажется, Вас смутило следующее соображение. Вы знаете, что у любой последовательности (в том числе ДП) найдётся такое место в Вашем списке, где любое наперёд заданное КОНЕЧНОЕ число членов будет такое же. Это несомненно, поскольку Вы взяли все конечные последовательности. Но это не значит, что ДП поместится в список целиком. Обдумайте, пожалуйста, этот момент. Мне кажется, загвоздка именно в этом.

(Reply to this)(Parent) (Thread)
Re: "диагональный приём"
coralsteel
2006-11-01 08:25 pm UTC (link) DeleteTrack this
Никакой загвоздки.
"На наш взгляд, данное рассуждение ошибочно.

1. Начнем с того, что из канторовского рассуждения нельзя точно понять, о какой счетной последовательности идет речь: о потенциальной (незавершенной) или актуальной (завершенной), хотя он неоднократно призывал своих последователей к их четкому различению.


В частности, Г. Кантор писал в работе "О различных точках зрения на актуально бесконечное": "Несмотря на существенное различие понятий потенциальной и актуальной бесконечности, - притом первая означает переменную конечную величину, растущую сверх всяких конечных границ, а последняя - некоторое замкнутое в себе, постоянное, но лежащее по ту сторону всех конечных величин количество, - к сожалению, слишком часто встречаются случаи смешения этих понятий" [Кантор Г. Труды по теории множеств. – М.:Наука, 1985. - с. 265].

2. Не пытаясь доподлинно установить, какую из двух видов счетных бесконечных последовательностей имел ввиду Г. Кантор в своем "доказательстве" (это, по-видимому, невозможно), рассмотрим поочередно обе логические возможности.

2.1. Предположим вначале, что речь идет о потенциальной счетной бесконечной последовательности.

Тогда канторовское рассуждение неверно, поскольку потенциально бесконечная последовательность всегда пополнима и, следовательно, любое новое число рассматриваемой последовательности может быть "канторовским". То есть в этом случае отсутствует отличный от потенциально возможных элемент (новое число), который бы нарушал "счетность" потенциальной последовательности.

2.2. Предположим, далее, что речь идет об актуальной счетной бесконечной последовательности.

Тогда канторовское рассуждение также неверно, поскольку актуальная бесконечная последовательность (неважно, конструктивно перечислимая или нет) всегда завершена по определению и элемент, принадлежащий по своим свойствам данной последовательности, не может существовать вне ее, не нарушая свойства завершенности исходной последовательности.

Следовательно, из факта наличия элемента, не входящего в исходную актуальную (по предположению) последовательность, необходимо делать вывод, что данная последовательность к моменту своего формирования была не актуальна (не завершена в полном объеме), а не "несчетна". То есть мы приходим к тому, что либо процедура канторовского доказательства логически некорректна (факт "неполноты", "незавершенности" некоторой последовательности не есть доказательство ее "несчетности"), либо исходная последовательность потенциальна, а не актуальна."
http://inwar.ru/01/02/2-1.html#2-1-1

Это философия.
А вот формализация:
"Казалось бы, с точки зрения формальной логики, канторовское RAA-доказательство является безупречным и неопровержимым. Однако, особенность именно КП-метода(контр-примера) состоит в том, что для опровержения общего утверждения (здесь - утверждения B) достаточно единственного контр-примера (здесь - единственного канторовского АД-д.ч. y1 (1)), а общее количество (конечное или даже бесконечное) всех возможных контр-примеров не играет никакой роли. Это означает, что формально безукоризненный вывод Кантора о несчетности Х (в форме |X|>|N|) основан на том факте, что бесконечное множество Х имеет ровно на один элемент (АД-д.ч. y1) больше, чем бесконечное множество N, т.е. |X| - |N| = 1 (случай бесконечного множества канторовских АД-д.ч. рассматривается ниже). Очевидно, что такое теоретико-множественное «обоснование» канторовского вывода о несчетности континуума противоречит Лемме 1. Ч.Т.Д."

http://www.ccas.ru/alexzen/papers/CANTOR-2003/Paper-RUS.doc

(Reply to this)(Parent) (Thread)
Re: "диагональный приём"
falcao
2006-11-02 12:30 am UTC (link) Track this
Я предлагаю сначала разобраться с более простыми вещами, а потом уже приниматься за более сложные. Я уже говорил, что представление о существовании несчётных множеств совсем не обязательно. Я предлагаю пока что оставаться в рамках комбинаторики и рассматривать диагональный приём сам по себе, вне приложения к "континууму".

При такой постановке вопроса понятно, что такое бесконечная последовательность чисел (можно считать её актуально бесконечной); понятно также, что такое последовательность, членами которой являются последовательности. Всё это вместе образует "ковёр", заполненный числами. То есть это фактически матрица из элементов a_{i,j}, где i,j принимают любые натуральные значения. Матрица считается уже заданной, то есть это актуальная бесконечность.

Если положить b_{i}=1-a_{i,i} (при условии, что эта матрица состоит из нулей и единиц), то получим последовательность (тоже "актуальную", то есть данную сразу), которой нет среди строк матрицы. Больше ничего здесь и не утверждается.

Абзац после пункта 2.2 вызывает у меня возражения, так как здесь налицо словесная путаница. Актуальная последовательность -- это последовательность, которая дана вся и целиком. В этом смысле её можно считать "завершённой". Но это не значит, что она должна содержать всё мыслимое. Скажем, последовательность из одних нулей явно завершена. Но она не содержит, скажем, единиц. В этом смысле она "не завершена". Ясно, что противоречия здесь нет, а есть просто игра с омонимами.

У меня такое пожелание: при обсуждении говорить от себя. В противном случае очень трудно следить за контекстом, откуда взята мысль. Ещё раз подчеркну, что пока предметом обсуждения является состоятельность диагонального приёма. Я был бы только рад увидеть какое-либо "нетрадиционное" его истолкование, но пока мне это сделать не удалось.

(Reply to this)(Parent) (Thread)
Re: "диагональный приём"
coralsteel
2006-11-02 03:13 pm UTC (link) DeleteTrack this
Логика Кантора такова:
путем матиндукции докажем, что в последовательности чисел натурального ряда нет квадратов. Двигаемся по методу матиндукции перебирая число за числом.
Начнем с числа 2 (имеем право).
Легко видеть, что 0#4, 1#4, 2#4. Это база.
Теперь шаг. Из справедливости утверждения для n докажем для n+1.
Очевидно, что n+1<(n+1)(n+1) ЧТД.

Еще более смешное рассмотрение.
Если мы дополним список двоичных чисел нулями:
00000000...
10000000...
00000000...
01000000...
10000000...
11000000...
то легко видеть, что ДП состоит из одних 11111111111...
Также легко видеть что мы можем указать ПОСЛЕДНЕЕ число в нашем списке - оно тоже состоит из бесконечного числа 1111111....

(что понятно, так как является суммой двоичных дробей и в пределе равно 1.0)
Если список является актуальным, то Вам нетрудно убедиться что ДП в пределе равно этому последнему числу.

(Reply to this)(Parent) (Thread)
последнее место
falcao
2006-11-02 03:40 pm UTC (link) Track this
Первое рассуждение я анализировать не буду, а вот насчёт второго, я надеюсь, настанет всё-таки "момент истины".

Итак, вы рассматриваете бесконечный список, о котором выше уже шла речь: 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, ... . И Вам, и мне понятно, как устроен этот список. Думаю, разногласий здесь нет. Я думаю, мы также понимаем, что он бесконечен.

Вы продолжаете каждую из последовательностей списка нулями и совершенно верно указываете, что ДП состоит из одних единиц. Этой диагональной последовательности в списке, разумеется, нет -- ведь каждая последовательность из списка начиная с некоторого места является нулевой. Вы же почему-то утверждаете, что она находится в списке на ... последнем месте. Но ведь у списка нет последнего места! Элементы списка занумерованы натуральными числами (это строки нашей матрицы). Каждая строка имеет номер; за строкой номер n идёт строка номер n+1. То есть последней строки, последнего места в списке нет. Равно как и нет последнего натурального числа.

Если Вы мне укажете "последнее натуральное число", то я соглашусь как со всеми Вашими предыдущими выводами, так и с последующими :)

(Reply to this)(Parent) (Thread)
Re: последнее место
coralsteel
2006-11-02 04:10 pm UTC (link) DeleteTrack this
А зачем мне указывать последнее натуральное число???
Когда Вы пишете периодическую дробь Вы же не указываете число разрядов?
1/3=0.3(3), а согласно Вашей логике это сделать нужно.
Понятно, что Кантор придумал нетривиальную вещь. Но также и понятно как эта вещь работает. Если рассмотреть ДП как последовательность 1, 11, 111..., то очевидно, что она равномощна исходному списку. ВСЕ. Никаких других утверждений сделать нельзя. Иначе давайте рассуждать о том, что сумма всех натуральных чисел меньше чем сумма их квадратов и тому подобная чепуха.

(Reply to this)(Parent) (Thread)
Re: последнее место
falcao
2006-11-02 04:34 pm UTC (link) Track this
Вот Ваши слова:

> Также легко видеть что мы можем указать
> ПОСЛЕДНЕЕ число в нашем списке

Если в бесконечном списке последовательностей Вы укажете "последнее число" -- я соглашусь с чем угодно.

ДП -- это бесконечная последовательность. Её можно задать начальными отрезками -- это правда. Но мы не имеем право "рассмотреть ДП как 1, 11, 111, ...". Это было бы ошибкой. Это не сама ДП, а её начальные отрезки. Нельзя совершать такую ошибку: если объект чем-то однозначно определяется или кодируется, то взять и заменить имена в рассуждении.

Никто ведь не спорит, что сколь угодно длинные начальные отрезки последовательности 1111... у нас имеются. Но бесконечная последовательность ЦЕЛИКОМ не совпадает ни с какой из строк. Если Вы считаете, что совпадает -- назовите её конкретный номер. Ну, 177 или 12985098. Тот, где она записана. Я думаю, понятно, что её там просто нет?

(Reply to this)(Parent) (Thread)
Re: последнее место
coralsteel
2006-11-02 04:50 pm UTC (link) DeleteTrack this
Как говорит Галковский это 5%. "Либо Вы соглашаетесь со мной либо говорите глупости"...
Под 111111 я имею в виду 0.111111 или 1/2+1/4+1/8... что в ПРЕДЕЛЕ равно 1.0
Никто же не опровергает теорию пределов под предлогом укажите номер при котором 0.11111(1) = 1.0?
Я думаю, что Вы работаете преподавателем математики? Это правда?
Можно мне прийти к Вам на лекцию? Разумеется, если Вы на лекции будете доказывать диагональную теорему...

(Reply to this)(Parent) (Thread)
Re: последнее место
falcao
2006-11-02 05:08 pm UTC (link) Track this
Я напомню, что мы говорим о последовательностях. Их можно интерепретировать как вещественные числа, но это только уводит в сторону от сути. Возникают всякие ограничения на запись чисел и так далее. Диагональный приём в чистом виде легче всего наблюдать на последовательностях, никак их специально не интерпретируя.

Вы привели выше пример "ковра", в котором ДП состояла из одних единиц. Её в списке нет. Тогда зачем был приведён пример?

Теорию пределов лучше сюда не привлекать. Это снова ведёт к переименованиям. Да, при соответствующей интерпретации можно под 1111... понимать 0.111..., что является неканонической записью числа 1 в двоичной системе. Но я ещё раз подчёркиваю: нельзя отождествлять разные объекты. Дроби 1/2 и 3/6 -- разные, хотя они задают одно и то же рациональное число.

Среди многих вещей, которые я делаю, какое-то место занимает и преподавание. Сейчас я читаю курс лекций, связанных с алгеброй. Обучение в этом университете -- платное. Так что я-то на лекцию бы Вас пустил, но начальство этого не разрешит :)

(Reply to this)(Parent) (Thread)
Re: последнее место
coralsteel
2006-11-02 05:53 pm UTC (link) DeleteTrack this
Алгебра это хорошо. Я бы на лекцию о теореме Геделя пришел...
Мне кажется в математике существует негласный запрет рассматривать опровержения доказательств Кантора и Геделя.
Так как математика - это точная наука и ошибкам там не место...
Дайте пожалуйста ЖЖ Вашего студента. Я его проинструктирую...

(Reply to this)(Parent) (Thread)
Re: последнее место
falcao
2006-11-02 06:22 pm UTC (link) Track this
Теоремы Гёделя читаются в курсах математической логики.

Математики очень не любят разговоров об "опровержениях". Это правда. Я в этом смысле представляю собой исключение. Если у кого-либо есть какие-то нестандартные взгляды или идеи на этот счёт -- я готов выслушать. Только излагаться всё должно ясно и понятно -- это единственное условие.

Я, кстати, не считаю математику "точной наукой". Точными или неточными могут весы, например. К математике этот образ неприменим.

Я не знаю, ведёт ли ЖЖ кто-либо из моих студентов. Даже если и ведут, то на английском :)


Оцените статью

Спасибо за обращение

Вам запрещено оценивать комментарии.
Обратитесь в администрацию.

Укажите причину